Solução da Revista Eureka! Nº 16
domingo, 2 de abril de 2017
sexta-feira, 31 de março de 2017
Livros de Matemática Universitária
É sempre motivante encontrar um bom material de estudo e que além disso seja livre e gratuito. Além de divulgar o conhecimento isso permite que pessoas que não possuem informações ou condições possam ter o direito de aprender com qualidade!
Álgebra Linear
Álgebra Linear - USP
Álgebra Linear - PUC Minas
Cálculo
Livros da UERJ
Análise Real
Curso de Análise Real - UFRJ
Introdução à Análise Real - UnB
EDO
Introdução às Equações Diferenciais Ordinárias - UFMG
Álgebra Abstrata
Abstract Algebra: Theory and Applications - Stephen F. Austin State University
Álgebra I - UnBIntrodução à Teoria de Anéis - UFMG
Teoria dos Números
Teoria dos Números - UnB
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Artigos interessantes
Muitas questões da OBM-U são sobre Álgebra Linear e Cálculo/Análise Real e por esse motivo vale a pena conferir os artigos sobre os temas:
Álgebra Linear - Giuliano Boava - 17ª Semana Olímpica
Problemas de Cálculo - Carlos Shine - 18ª Semana Olímpica
domingo, 19 de março de 2017
Cálculo: Centro de Massa - 23ª OBM - 1ª fase - Problema 3
Solução da Revista Eureka! Nº 13
Comentário
- É interessante realmente imaginar a situação: quando a lata, com massa $m$, está vazia seu centro de massa é $\displaystyle\frac{h}{2}$. Analisando somente o refrigerante, com massa $M$, quando a lata está cheia temos por hipótese que o centro de massa também é $\displaystyle\frac{h}{2}$.
- Porém o objetivo é variar a massa do refrigerante a fim de variar e encontrar o centro de massa mais baixo. Observação: a orientação, obviamente, é do fundo da lata para cima.
- É de se esperar então, que a variação é proporcional, isto é, a "fração" $\lambda M$ possui $\lambda \displaystyle\frac{h}{2}$ como centro de massa. ($\lambda \in [0,1]$).
- Utilizando a noção de centro de massa como a Média Ponderada das posições das massas $\displaystyle\frac{m_1\cdot(x_1) + m_2\cdot(x_2)}{m_1 + m_2}$, temos:
$$ f(\lambda)= \frac{m\cdot(\displaystyle\frac{h}{2}) + \lambda M\cdot(\lambda \displaystyle\frac{h}{2})}{m + \lambda M}$$
- Agora basta calcular os pontos críticos com $f'(\lambda)=0$ e encontrar $\lambda$ mínimo.
Para mais detalhes sobre o tema o artigo: CENTRO DE MASSA E APLICAÇÕES À GEOMETRIA de Emanuel Carneiro & Frederico Girão da Eureka! Nº 21.
Teoria dos Números - 23ª OBM - 1ª fase - Problema 2
Solução da Revista Eureka! Nº 13
Comentário
- A ideia é utilizar a representação numérica em uma base qualquer e "não ter medo" de elevar ao quadrado: $p(x)=a_{k}x^{k}+a_{k-1}x^{k-1}+...+a_{1}x+a_{0}$, tal que $0\le a_{i}< 10 $. E isso facilita porque quando $x=10$ temos o número na base $10$, como utilizamos, e quando $x=1$ temos a soma dos dígitos.
- Calculando $(p(x))^2$:
$$q(x)=(p(x))^2=(a_{k}x^{k}+a_{k-1}x^{k-1}+...+a_{1}x+a_{0})(a_{k}x^{k}+a_{k-1}x^{k-1}+...+a_{1}x+a_{0}) $$
$$q(x)=(p(x))^2=(a_{k}x^{k})(a_{k}x^{k}+a_{k-1}x^{k-1}+...+a_{1}x+a_{0})+ (a_{k-1}x^{k-1})(a_{k}x^{k}+a_{k-1}x^{k-1}+...+a_{1}x+a_{0})+...+ (a_{1}x)(a_{k}x^{k}+a_{k-1}x^{k-1}+...+a_{1}x+a_{0})+ (a_{0})(a_{k}x^{k}+a_{k-1}x^{k-1}+...+a_{1}x+a_{0}) $$
Agora o passo "não trivial", aplicar a distributiva e colocar em evidência de acordo com o grau do $x$:
$$q(x)=(p(x))^2= $$
$$(a_{k}^{2})x^{2k}+ $$
$$+(a_{k}a_{k-1} + a_{k-1}a_{k})x^{2k-1}+ $$
$$+(a_{k}a_{k-2} + a_{k-1}a_{k-1}+ a_{k-2}a_{k})x^{2k-2}+... +$$
$$+(a_{k}a_{0} + a_{k-1}a_{1}+...+ a_{0}a_{k})x^{k}+ $$
$$+(a_{k-1}a_{0} + a_{k-2}a_{1}+...+ a_{0}a_{k-1})x^{k-1}+... $$
$$+(a_{1}a_{0} + a_{0}a_{1})x+ $$
$$+a_{0}^2$$
Assim podemos nomear cada coeficiente desse polinômio gigante de $b_j$.
(Detalhe: na expressão dos $b_j$ da solução oficial caso $j > k$ tome $a_i=0, \forall i> k$.)
- Com a expressão de $(p(x))^2$ podemos pensar nas condições para que $s(n)=p(1)=10$ e $s(n^2)=q(1)=100$. Observe que para a expressão de $q(x)$ ser útil é necessário que cada coeficiente $b_j$ não seja maior que 9, porque caso contrário o processo de colocar em evidência não servirá de nada!
- Agora basta ir testando números em que a soma dos dígitos é $10$ e, que fazendo as combinações para encontrar cada $b_j$, tenha-se $b_j \le 9$. Por exemplo $1111111111$ não funciona, pois $b_k=10$. Depois de alguns testes podemos mostrar que $1101111211$ possui a propriedade.
Cálculo: Derivada - 23ª OBM - 1ª fase - Problema 1
Solução da Revista Eureka! Nº 13
Comentário
- Algumas identidades trigonométricas podem ser utilizadas:
$$ sen(x) = cos(\frac{\pi}{2} - x) \hspace{0.5cm} (1)$$
$$ cos(x) = sen(\frac{\pi}{2} - x) \hspace{0.5cm} (2)$$
Soma e diferença de arcos:
$$ sen(a+b) = sen(a)cos(b) + sen(b)cos(a) \hspace{0.5cm} (3)$$
$$ sen(a-b) = sen(a)cos(b) - sen(b)cos(a) \hspace{0.5cm} (4)$$
$$ cos(a+b) = cos(a)cos(b) - sen(a)sen(b) \hspace{0.5cm} (5)$$
$$ cos(a-b) = cos(a)cos(b) + sen(a)sen(b) \hspace{0.5cm} (6)$$
A partir dessas podemos concluir as Fórmulas de Prostaférese:
$$ sen(a) + sen(b) = 2sen(\frac{a+b}{2})cos(\frac{a-b}{2}) \hspace{0.5cm} (7)$$
$$ sen(a) - sen(b) = 2sen(\frac{a-b}{2})cos(\frac{a+b}{2}) \hspace{0.5cm} (8)$$
$$ cos(a) + cos(b) = 2cos(\frac{a+b}{2})cos(\frac{a-b}{2}) \hspace{0.5cm} (9)$$
$$ cos(a) - cos(b) = -2sen(\frac{a+b}{2})sen(\frac{a-b}{2}) \hspace{0.5cm} (10)$$
As relações (2) e (8) foram utilizadas na solução acima. Para mais detalhes sobre as Fórmulas de Prostaférese acesse o artigo SOMAS TRIGONOMÉTRICAS: DE PROSTAFÉRESE À FÓRMULA DE EULER de Rogério Possi Junior, publicado na Eureka! Nº33.
- A ideia por de trás dessa transformação na solução é tornar $f'(x)$ parecida com $f(x)$, porque assim ficar mais fácil calcular $f''(x)$ a partir de $f'(x)$ e assim por diante.
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