Cálculo: Centro de Massa - 23ª OBM - 1ª fase - Problema 3

Solução da Revista Eureka! Nº 13

Comentário 

• É interessante realmente imaginar a situação: quando a lata, com massa $m$, está vazia seu centro de massa é $\displaystyle\frac{h}{2}$. Analisando somente o refrigerante, com massa $M$, quando a lata está cheia temos por hipótese que o centro de massa também é $\displaystyle\frac{h}{2}$. 
• Porém o objetivo é variar a massa do refrigerante a fim de variar e encontrar o centro de massa mais baixo. Observação: a orientação, obviamente, é do fundo da lata para cima.
• É de se esperar então, que a variação é proporcional, isto é, a "fração" $\lambda M$ possui $\lambda \displaystyle\frac{h}{2}$ como centro de massa. ($\lambda \in [0,1]$).
• Utilizando a noção de centro de massa como a Média Ponderada das posições das massas $\displaystyle\frac{m_1\cdot(x_1) + m_2\cdot(x_2)}{m_1 + m_2}$, temos: 

$$ f(\lambda)= \frac{m\cdot(\displaystyle\frac{h}{2}) + \lambda M\cdot(\lambda \displaystyle\frac{h}{2})}{m + \lambda M}$$

• Agora basta calcular os pontos críticos com $f'(\lambda)=0$ e encontrar $\lambda$ mínimo.

Para mais detalhes sobre o tema o artigo: CENTRO DE MASSA E APLICAÇÕES À GEOMETRIA de Emanuel Carneiro & Frederico Girão da Eureka! Nº 21.