Cálculo: Derivada - 23ª OBM - 1ª fase - Problema 1

Solução da Revista Eureka! Nº 13

Comentário

• Algumas identidades trigonométricas podem ser utilizadas:

$$ sen(x) = cos(\frac{\pi}{2} - x) \hspace{0.5cm} (1)$$

$$ cos(x) = sen(\frac{\pi}{2} - x) \hspace{0.5cm} (2)$$

Soma e diferença de arcos:

$$ sen(a+b) = sen(a)cos(b) + sen(b)cos(a) \hspace{0.5cm} (3)$$

$$ sen(a-b) = sen(a)cos(b) - sen(b)cos(a) \hspace{0.5cm} (4)$$

$$ cos(a+b) = cos(a)cos(b) - sen(a)sen(b) \hspace{0.5cm} (5)$$

$$ cos(a-b) = cos(a)cos(b) + sen(a)sen(b) \hspace{0.5cm} (6)$$

A partir dessas podemos concluir as Fórmulas de Prostaférese:

$$ sen(a) + sen(b) = 2sen(\frac{a+b}{2})cos(\frac{a-b}{2}) \hspace{0.5cm} (7)$$

$$ sen(a) - sen(b) = 2sen(\frac{a-b}{2})cos(\frac{a+b}{2}) \hspace{0.5cm} (8)$$

$$ cos(a) + cos(b) = 2cos(\frac{a+b}{2})cos(\frac{a-b}{2}) \hspace{0.5cm} (9)$$

$$ cos(a) - cos(b) = -2sen(\frac{a+b}{2})sen(\frac{a-b}{2}) \hspace{0.5cm} (10)$$

As relações (2) e (8) foram utilizadas na solução acima. Para mais detalhes sobre as Fórmulas de Prostaférese acesse o artigo SOMAS TRIGONOMÉTRICAS: DE PROSTAFÉRESE À FÓRMULA DE EULER de Rogério Possi Junior, publicado na Eureka! Nº33.

• A ideia por de trás dessa transformação na solução é tornar $f'(x)$ parecida com $f(x)$, porque assim ficar mais fácil calcular $f''(x)$ a partir de $f'(x)$ e assim por diante.