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Artigos interessantes

Muitas questões da OBM-U são sobre Álgebra Linear e Cálculo/Análise Real e por esse motivo vale a pena conferir os artigos sobre os temas:

Álgebra Linear - Giuliano Boava - 17ª Semana Olímpica

Problemas de Cálculo - Carlos Shine - 18ª Semana Olímpica

Análise Real - 23ª OBM - 1ª fase - Problema 6

Solução da Revista Eureka! Nº 13

Álgebra Linear - 23ª OBM - 1ª fase - Problema 5

Solução da Revista Eureka! Nº 13

Probabilidade - 23ª OBM - 1ª fase - Problema 4

Solução da Revista Eureka! Nº 13

Cálculo: Centro de Massa - 23ª OBM - 1ª fase - Problema 3

Solução da Revista Eureka! Nº 13

Comentário 

• É interessante realmente imaginar a situação: quando a lata, com massa $m$, está vazia seu centro de massa é $\displaystyle\frac{h}{2}$. Analisando somente o refrigerante, com massa $M$, quando a lata está cheia temos por hipótese que o centro de massa também é $\displaystyle\frac{h}{2}$. 
• Porém o objetivo é variar a massa do refrigerante a fim de variar e encontrar o centro de massa mais baixo. Observação: a orientação, obviamente, é do fundo da lata para cima.
• É de se esperar então, que a variação é proporcional, isto é, a "fração" $\lambda M$ possui $\lambda \displaystyle\frac{h}{2}$ como centro de massa. ($\lambda \in [0,1]$).
• Utilizando a noção de centro de massa como a Média Ponderada das posições das massas $\displaystyle\frac{m_1\cdot(x_1) + m_2\cdot(x_2)}{m_1 + m_2}$, temos: 

$$ f(\lambda)= \frac{m\cdot(\displaystyle\frac{h}{2}) + \lambda M\cdot(\lambda \displaystyle\frac{h}{2})}{m + \lambda M}$$

• Agora basta calcular os pontos críticos com $f'(\lambda)=0$ e encontrar $\lambda$ mínimo.

Para mais detalhes sobre o tema o artigo: CENTRO DE MASSA E APLICAÇÕES À GEOMETRIA de Emanuel Carneiro & Frederico Girão da Eureka! Nº 21.

Teoria dos Números - 23ª OBM - 1ª fase - Problema 2

Solução da Revista Eureka! Nº 13

Comentário

• A ideia é utilizar a representação numérica em uma base qualquer e "não ter medo" de elevar ao quadrado: $p(x)=a_{k}x^{k}+a_{k-1}x^{k-1}+...+a_{1}x+a_{0}$, tal que $0\le a_{i}< 10 $. E isso facilita porque quando $x=10$ temos o número na base $10$, como utilizamos, e quando $x=1$ temos a soma dos dígitos.  
• Calculando $(p(x))^2$:

$$q(x)=(p(x))^2=(a_{k}x^{k}+a_{k-1}x^{k-1}+...+a_{1}x+a_{0})(a_{k}x^{k}+a_{k-1}x^{k-1}+...+a_{1}x+a_{0}) $$

$$q(x)=(p(x))^2=(a_{k}x^{k})(a_{k}x^{k}+a_{k-1}x^{k-1}+...+a_{1}x+a_{0})+ (a_{k-1}x^{k-1})(a_{k}x^{k}+a_{k-1}x^{k-1}+...+a_{1}x+a_{0})+...+ (a_{1}x)(a_{k}x^{k}+a_{k-1}x^{k-1}+...+a_{1}x+a_{0})+       (a_{0})(a_{k}x^{k}+a_{k-1}x^{k-1}+...+a_{1}x+a_{0}) $$

Agora o passo "não trivial", aplicar a distributiva e colocar em evidência de acordo com o grau do $x$:

$$q(x)=(p(x))^2=  $$

$$(a_{k}^{2})x^{2k}+ $$

$$+(a_{k}a_{k-1} + a_{k-1}a_{k})x^{2k-1}+ $$

$$+(a_{k}a_{k-2} + a_{k-1}a_{k-1}+ a_{k-2}a_{k})x^{2k-2}+... +$$

$$+(a_{k}a_{0} + a_{k-1}a_{1}+...+ a_{0}a_{k})x^{k}+ $$

$$+(a_{k-1}a_{0} + a_{k-2}a_{1}+...+ a_{0}a_{k-1})x^{k-1}+... $$

$$+(a_{1}a_{0} + a_{0}a_{1})x+ $$

$$+a_{0}^2$$

Assim podemos nomear cada coeficiente desse polinômio gigante de $b_j$.

(Detalhe: na expressão dos $b_j$ da solução oficial caso $j > k$ tome $a_i=0, \forall  i> k$.)

• Com a expressão de $(p(x))^2$ podemos pensar nas condições para que $s(n)=p(1)=10$ e $s(n^2)=q(1)=100$. Observe que para a expressão de $q(x)$ ser útil é necessário que cada coeficiente $b_j$ não seja maior que 9, porque caso contrário o processo de colocar em evidência não servirá de nada!
• Agora basta ir testando números em que a soma dos dígitos é $10$ e, que fazendo as combinações para encontrar cada $b_j$, tenha-se $b_j \le 9$. Por exemplo $1111111111$ não funciona, pois $b_k=10$. Depois de alguns testes podemos mostrar que $1101111211$ possui a propriedade.

Cálculo: Derivada - 23ª OBM - 1ª fase - Problema 1

Solução da Revista Eureka! Nº 13

Comentário

• Algumas identidades trigonométricas podem ser utilizadas:

$$ sen(x) = cos(\frac{\pi}{2} - x) \hspace{0.5cm} (1)$$

$$ cos(x) = sen(\frac{\pi}{2} - x) \hspace{0.5cm} (2)$$

Soma e diferença de arcos:

$$ sen(a+b) = sen(a)cos(b) + sen(b)cos(a) \hspace{0.5cm} (3)$$

$$ sen(a-b) = sen(a)cos(b) - sen(b)cos(a) \hspace{0.5cm} (4)$$

$$ cos(a+b) = cos(a)cos(b) - sen(a)sen(b) \hspace{0.5cm} (5)$$

$$ cos(a-b) = cos(a)cos(b) + sen(a)sen(b) \hspace{0.5cm} (6)$$

A partir dessas podemos concluir as Fórmulas de Prostaférese:

$$ sen(a) + sen(b) = 2sen(\frac{a+b}{2})cos(\frac{a-b}{2}) \hspace{0.5cm} (7)$$

$$ sen(a) - sen(b) = 2sen(\frac{a-b}{2})cos(\frac{a+b}{2}) \hspace{0.5cm} (8)$$

$$ cos(a) + cos(b) = 2cos(\frac{a+b}{2})cos(\frac{a-b}{2}) \hspace{0.5cm} (9)$$

$$ cos(a) - cos(b) = -2sen(\frac{a+b}{2})sen(\frac{a-b}{2}) \hspace{0.5cm} (10)$$

As relações (2) e (8) foram utilizadas na solução acima. Para mais detalhes sobre as Fórmulas de Prostaférese acesse o artigo SOMAS TRIGONOMÉTRICAS: DE PROSTAFÉRESE À FÓRMULA DE EULER de Rogério Possi Junior, publicado na Eureka! Nº33.

• A ideia por de trás dessa transformação na solução é tornar $f'(x)$ parecida com $f(x)$, porque assim ficar mais fácil calcular $f''(x)$ a partir de $f'(x)$ e assim por diante.